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Análisis Matemático 66

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA PALACIOS PUEBLA

Práctica 7 - Aproximación polinomial

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3. Suponga que f:(0,5)→Rf:(0,5) \rightarrow \mathbb{R} es una función tres veces derivable con polinomio de Taylor de orden 3 en x0=2x_{0}=2 dado por P3(x)=2+3x−2x2−14x3P_{3}(x)=2+3 x-2 x^{2}-\frac{1}{4} x^{3}
b) Suponga que el polinomio de Taylor de orden 2 de hh alrededor de x1=−2x_{1}=-2 viene dado por Q2(x)=3−x+x2Q_{2}(x)=3-x+x^{2} Halle el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de x0=2x_{0}=2 para la función h(f(x))h(f(x)).

Respuesta

Como nos viene pasando en muchos ejercicios de Taylor que vimos en las clases, la clave para encarar estos ejercicios es ser organizados. Leamos con atención el enunciado. Ahora apareció también una función hh, la cual no conocemos, y sólo tenemos el dato de su polinomio de Taylor de orden 22 alrededor de x=−2x=-2. Bueno, veremos cómo usamos este dato y en qué momento. 

Lo que a mi me importa es que me están pidiendo el polinomio de Taylor de orden 2 alrededor de x=2x=2 de la función h(f(x))h(f(x)). Vamos a ponerle nombre a esta función nueva: g(x)=h(f(x))g(x) = h(f(x)). Entonces, lo primero que hago es armarme el esqueleto de mi respuesta, es decir, el Taylor de orden 22, centrado alrededor de x=2x=2 de la función gg. Me queda así:

P(x)=g(2)+g′(2)(x−2)+g′′(2)2!(x−2)2 P(x) = g(2) + g'(2)(x - 2) + \frac{g''(2)}{2!}(x - 2)^2

Vamos ahora pasito a pasito construyendo nuestra respuesta con los elementos que nos faltan:

✅ g(2)g(2)

g(2)=h(f(2))g(2) = h(f(2))

Y f(2)f(2) ya sabemos cuánto vale, lo calculamos en el item anterior! Era f(2)=−2f(2) = -2

Si reemplazamos:

g(2)=h(−2)g(2) = h(-2)

Apa, necesitamos h(−2)h(-2). Ahí nos acordamos que de la función hh teníamos un dato, su Taylor centrado alrededor de x=−2x=-2. Por lo tanto, sabemos que h(−2)=Q(−2)=9h(-2) = Q(-2) = 9

Lissssto! Reemplazamos:

g(2)=h(−2)=9g(2) = h(-2) = 9

Por lo tanto, g(2)=9g(2) = 9 y nuestra respuesta ya empieza a tomar color. 

✅ g′(2)g'(2)

Arrancamos derivando gg, usamos regla de la cadena:

g′(x)=h′(f(x))⋅f′(x)g'(x) = h'(f(x)) \cdot f'(x)

Evalúo en x=2x=2

g′(x)=h′(f(2))⋅f′(2)g'(x) = h'(f(2)) \cdot f'(2)

Reemplazo con los valores que encontramos en el item anterior:

g′(x)=h′(−2)⋅(−8)g'(x) = h'(-2) \cdot (-8)

Perfecto, necesitamos saber quién es h′(−2)h'(-2). Para eso vamos a usar que h′(−2)=Q′(−2)h'(-2) = Q'(-2). Derivamos entonces el polinomio QQ y evaluamos en x=−2x=-2. 

Q′(x)=−1+2x Q'(x) = -1 + 2x h′(−2)=Q′(−2)=−5 h'(-2) = Q'(-2) = -5

Perfectoooo, entonces:

g′(2)=h′(−2)⋅(−8)=(−5)⋅(−8)=40 g'(2) = h'(-2) \cdot (-8) = (-5) \cdot (-8) = 40

Seguimos avanzandooo!

✅ g′′(2) g''(2)

Arrancamos derivando g′(x)g'(x), atenti acá hay que usar regla del producto!

g′′(x)=h′′(f(x))⋅f(x)⋅f(x)+h′(f(x))⋅f′′(x) g''(x) = h''(f(x)) \cdot f(x) \cdot f(x) + h'(f(x)) \cdot f''(x)

Que lo podemos reescribir así:

g′′(x)=h′′(f(x))⋅f′2(x)+h′(f(x))⋅f′′(x) g''(x) = h''(f(x)) \cdot f'^2(x) + h'(f(x)) \cdot f''(x)

Evaluamos ahora en x=2x=2

g′′(x)=h′′(f(2))⋅f′2(2)+h′(f(2))⋅f′′(2) g''(x) = h''(f(2)) \cdot f'^2(2) + h'(f(2)) \cdot f''(2)

Reemplazamos con los datos de ff que tenemos:

g′′(x)=h′′(−2)⋅(−8)2+h′(−2)⋅(−7) g''(x) = h''(-2) \cdot (-8)^2 + h'(-2) \cdot (-7)

Y hace un ratito habíamos encontrado que h′(−2)= −5 h'(-2) = -5

g′′(x)=h′′(−2)⋅64−5⋅(−7) g''(x) = h''(-2) \cdot 64 -5 \cdot (-7)

g′′(x)=h′′(−2)⋅64+35 g''(x) = h''(-2) \cdot 64 + 35

Así que lo que necesitamos es h′′(−2)h''(-2) que sabemos que es igual a Q′′(−2)Q''(-2)

Q′′(x)=2 Q''(x) = 2 h′′(−2)=Q′′(−2)=2 h''(-2) = Q''(-2) = 2

Ya estamosssss! Reemplazamos y nos queda:

g′′(x)=2⋅64+35=163 g''(x) = 2 \cdot 64 + 35 = 163

Ya tenemos todas las piezas que necesitábamos, ahora reemplazamos en la estructura de nuestra respuesta y ya estamos:

P(x)=g(2)+g′(2)(x−2)+g′′(2)2(x−2)2 P(x) = g(2) + g'(2)(x - 2) + \frac{g''(2)}{2}(x - 2)^2
P(x)=9+40(x−2)+1632(x−2)2 P(x) = 9 + 40(x - 2) + \frac{163}{2}(x - 2)^2
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